L’atelier a démarré mercredi 2 octobre avec la venue de Mme Lagaize et M.Ernst, chercheurs à l’ULCO (Université du Littoral Côté d’Opale).
Ils nous ont présenté des sujets de recherche qui ont enthousiasmés nos élèves.
Leighane, Sulyvan et Shanie ont choisi « Retournement de situation » :
On dispose n pions verticalement. Ils sont noirs sur une face, blancs sur l’autre, et sont numérotés de 1 à n. Au début du jeu, chaque pion présente aléatoirement sa face noire ou sa face blanche. À chaque coup, qu’on appelle une opération dans toute la suite, on retourne un des pions et tous ceux situés au dessus. L’objectif du jeu est de trouver une séquence d’opérations telle que tous les pions montrent leur face blanche.
1. Tester quelques exemples : en combien d’opérations peut-on atteindre l’objectif ?
2. Trouver un algorithme qui permette d’atteindre l’objectif en un minimum d’opérations. Quel est le nombre maximal d’opérations nécessaires ?
Martin a choisi « Chasse au monstre » :
On considère un carré quadrillé de taille 5 × 5 représentant un territoire. Ce territoire se situe dans un pays où existe un monstre très dangereux. Ce monstre est représenté par un rectangle de taille 1 × 3. Le gardien du territoire veut y disposer des pièges, chaque piège étant représenté par une case du carré. Si, dans le territoire, il reste un rectangle de taille 1 × 3 sans piège alors le monstre risque de s’y installer.
Quel est le nombre minimum de pièges nécessaires pour empêcher le monstre de s’installer sur le territoire ?
On pourra étudier le cas d’un territoire de taille différente, de forme rectangulaire. On pourra aussi envisager un monstre de taille différente, de forme carrée,…
Juliette et Cécile ont choisi « Pique sou » :
Oncle Picsou vous propose le jeu suivant : sur un rectangle de taille n × m, lorsque vous désignez une case, Picsou met une pièce d’or sur les cases touchant celle que vous avez désignée si celles-ci sont vides. Par contre, il enlève les pièces présentes si les cases jouxtant celle que vous avez choisie ont déjà une pièce. Vous pouvez ensuite recommencer et désigner autant de cases que vous le souhaitez !
Si vous réussissez à remplir le rectangle de pièces alors vous gagnez toutes les pièces, sinon vous devez donner n × m pièces à l’oncle Picsou
1. Étudiez quelques cas particuliers de rectangles et essayez de voir si vous pouvez ruiner l’oncle Picsou !
2. Pouvez-vous conjecturer les cas qui vous semblent défavorables ou favorables ?
3. Que se passe-t-il si l’on change les règles du jeu ? Par exemple on commence avec toutes les cases recouvertes de pièces et en jouant un nombre impair de fois, vous devez revenir dans cette position pour gagner toutes les pièces ? Vous pouvez changer encore les règles et étudier les divers jeux qui en découlent !
Louis, Matéo et Aurélien ont choisi « Toujours un jeu gourmand » :
Deux personnes veulent jouer à un jeu très intéressant. En effet, il suffit de prendre une tablette de chocolat (avec des carreaux de chocolat carrés !) et de dessiner cette tablette (sous forme d’une grille) sur une feuille de papier. Le premier joueur prend 2 carrés de chocolats et les place côte-à-côte sur la grille, puis c’est au tour du second qui fait de même et ainsi de suite. Le joueur qui ne peut plus poser deux carrés côte-à-côte a perdu !
1. Jouez-à ce jeu, mais pas trop ! Essayez différentes tailles de tablettes.
2. Pouvez-vous trouver des stratégies pour gagner à coup sûr pour certaines tablettes ?
3. Et en jouant à qui-perd-gagne ?
Lory, Solène, Jessica, Wendy, Clémence, Manon et Eglantine ont choisi : « Ca passe ou ça casse ! » :
Deux cambrioleurs ont pillé une bijouterie et viennent de rejoindre leur voiture dans une ville américaine. Cette bijouterie est à l’extrême Nord-Est de la ville et malheureusement pour eux, la seule issue possible est le pont qui se situe à l’extrême Sud-Ouest de la ville. De plus, cette ville est construite sur un modèle classique : toutes les rues sont à angle droits, le réseau routier y est donc comparable à une grille n × m! Comme nos cambrioleurs seront très vite recherchés, ils veulent rejoindre le pont le plus vite possible et décident donc qu’ils ne se déplaceront que vers le Sud ou vers l’Ouest et que chacun prendra le volant à tour de rôle et conduira en ligne droite et pas plus de trois blocs ! Enfin, ils décident que celui qui conduira au moment où ils arriveront sur le pont aura une plus grande part du butin.
1. Supposons d’abord que notre ville est carrée de coté 5. En rentrant dans la voiture, vous avez le choix entre prendre le volant et le laisser à votre compère. Que vaut-il mieux faire ? Pourquoi ?
2. Essayez pour d’autres tailles de carrés ! Et pour des rectangles !
3. Que se passe-t-il si l’on enlève la contrainte sur le fait de conduire en ligne droite ?
4. Et si l’on modifie les règles sur le temps de conduite : par exemple chacun peut conduire pendant 2 ou 3 blocs seulement !
Mila, Emma, Léa et Louison ont choisi : « Pas de noeuds à mes lacets »
Le jeu suivant se joue à deux joueurs. On commence par placer n petites croix sur une feuille de papier. Ensuite le premier joueur relie l’une des branches d’une croix à une autre branche d’une (autre ou pas) croix à l’aide de la courbe de son choix. Puis c’est au joueur suivant qui fait de même et ainsi de suite. Le jeu continue tant que l’on peut relier des branches de croix à d’autres sans que les courbes ne se croisent. Le joueur perdant est le premier qui ne peut pas tracer une telle courbe.
1. Faites quelques essais avec une, deux, trois,… croix.
2. Ce jeu se termine-t-il toujours ?
3. Pouvez-vous trouver une stratégie qui vous permette de gagner lors d’une partie à deux joueurs ? Et pour plus de joueurs ?
4. VARIANTE : on pourra aussi s’intéresser à une variante de ce jeu qui consiste à jouer de la même façon mais à chaque fois que l’on trace une courbe, on ajoute sur celle-ci un petit trait qui la croise. Ceci crée deux nouvelles « branches » qui pourront ensuite être reliées aux autres lors des tours suivants.